Measures of variation


تعتبر مقاييس التشتت للبيانات ذات أهمية بالغة في وصف البيانات حيث أن مقاييس النزعة المركزية المتضمنة الوسط الحسابي ، والوسيط ، والمنوال لا تعطينا الصورة الكاملة والحقيقية في توزيع البيانات ، فقد يكون لدينا مجموعتين من البيانات لديها نفس قيمة الوسط الحسابي ولكنها مختلفة تماما من حيث التشتت والإنتشار أو مدى التقارب والتباعد للبيانات من مقاييس النزعة المركزية الخاصة بها

مثال يوضح الصورة بطريقة مبسطة

لدينا مجموعتين من الطلاب ، وكانت درجات المجوعة الأولى والثانية على النحو التالي

المجموعة الاولى404555707580858890100
المجموعة الثانية65687072737475767778

ذا تم ايجاد الوسط الحسابي للمجوعة الأولى = 728 ÷ 10 = 72 درجة

إذا تم ايجاد الوسط الحسابي للمجوعة الثانية = 728 ÷ 10 = 72 درجة

الوسط الحسابي في المجموعتين متساويين ولكن المدى وتشتت البيانات مختلف تماما حيث تعتبر بيانات المجموعة الثانية أكثر تجانسا وتقارب بينما بيانات المجوعة الأولى متباعدة ومتشتتة

ما هي مقاييس التشتت للبيانات ؟؟ 

أولا / المدى للبيانات ( غير المبوبة ) التي ليس لها جدول توزيع تكراري

يعتبر من أسهل مقاييس التشتت للبيانات ويمكن تعريفه على أنه الفرق بين أعلى وأصغر قيمة في البيانات ، فإذا كان المدى الخاص بالبيانات صغير يدل على تجانسها وتقاربها من بعضها لبعض وإذا كان عكس ذلك فهو يدل على تشتتها وتباعدها عن بعضها لبعض

المدى = أعلى قيمة ـــ أدنى قيمة

نأخذ المثال السابق لتوضيح ذلك 

لدينا مجموعتين من الطلاب ، وكانت درجات المجوعة الأولى والثانية على النحو التالي

المجموعة الأولى404555707580858890100
المجموعة الثانية 65687072737475767776

المدى للمجموعة الأولى = 100 ـــ 40 = 60

المدى للمجموعة الثانية = 78 ـــ 65 = 13

نلاحظ في هذا المثال بأن المدى في المجموعة الثانية أكثر تجانسا وتقاربا حيث يساوي 13 بينما في المجموعة الأولى أكثر تشتتا وتباعدا حيث يساوي 60 وهو قرابة خمسة أضعاف مدى المجموعة الثانية

ثانيا / المدى للبيانات ( المبوبة ) التي لها جدول توزيع تكراري

المدى = مركز الفئة الأخيرة ـــ مركز الفئة الأولى

مثال / أوجد المدى للبيانات التالية:

الدرجاتعدد الطلاب
10-02
20-1012
30-2022
40-308
50-406


مركز الفئة الأولى = 10 + 0 ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5

المدى = 45 ـــ 5 =40

ما هي المميزات والعيوب التي يتصف بها المدى :

المزايا والعيوب التي يحظى بها المدى
 قليل الإستخدام في مقاييس التشتت
 يعتمد على قيمتين فقط في عملية حسابه
سهولة استخدامه حسابيا
   يتأثر بالقيم الشاذة والمتطرفة
لا نعطيه اهتمام بالغ في قياس التشتت للبيانات


ثالثا / التباين والإنحراف المعياري للبيانات ( غير المبوبة ) التي ليس لها جدول توزيع تكراري

يعتبر الإنحراف المعياري أكثر استخداما لقياس تشتت البيانات ، قيمة الإنحراف المعياري تخبرنا عن مدى تشتت وانتشار البيانات حول الوسط الحسابي ، فكلما كانت قيمة الإنحراف المعياري متدنية دلت على أن قيم البيانات متقاربة في مداها حول الوسط الحسابي بينما لو كانت قيمة الإنحراف المعياري عالية دلت على أن قيم البيانات متباعدة في مداها حول الوسط الحسابي . الإنحراف المعياري يمكن الحصول عليه بعد ايجاد قيمة التباين فهو يساوي الجذر التربيعي لقيمة التباين

 اذا كانت البيانات ذات توزيع طبيعي على الشكل الهرمي فالبتالي يكون هناك ثلاثة انحرافات معيارية عن الوسط الحسابي

الإنحراف المعياري الأول يتضمن 68% من البيانات

الإنحراف المعياري الثاني يتضمن 95% من البيانات

الإنحراف المعياري الثالث يتضمن 99% من البيانات

إذا كان لدينا متوسط درجات الطلاب في مادة الإحصاء 25 وقيمة الإنحراف المعياري عن المتوسط الحسابي 5

المطلوب هنا توضيح نسبة الطلاب من خلال درجات الإنحراف المعياري ؟؟

الإنحراف المعياري الأول يتضمن 68% من الطلاب تقع درجاتهم في مادة الإحصاء ( 30 – 20 ) درجة

الإنحراف المعياري الثاني يتضمن 95% من الطلاب تقع درجاتهم في مادة الإحصاء ( 35 – 15 ) درجة

الإنحراف المعياري الثالث يتضمن 99% من الطلاب تقع درجاتهم في مادة الإحصاء ( 40 – 10 ) درجة

صيغة التباين للسكان


صيغة التباين للعينة :

رمز الإنحراف المعياري للسكان

القيمة العددية

الوسط الحسابي

عدد القيم في السكان


صيغة الانحراف المعياري للعينة :

رمز الإنحراف المعياري للسكان

القيمة العددية

الوسط الحسابي

عدد القيم في السكان


كيف يمكن الحصول على قيمة التباين والانحراف المعياري ؟؟

أولا / ايجاد قيمة الوسط الحسابي للبيانات

ثانيا / نوجد انحراف البيانات بواسطة طرح القيم من الوسط الحسابي

ثالثا / تربيع ناتج الطرح لإنحراف كل قيمة على حدة

رابعا / جمع تربيع انحرافات القيم جميعها

خامسا / قسمة حاصل جمع تربيع انحرافات القيم على حجم العينة ـــ 1

سادسا / حاصل الناتج يساوي التباين

سابعا / الجذر التربيعي للتباين يساوي الانحراف المعياري

مثال / أوجد قيمة المدى والتباين والانحراف المعياري للبيانات التالية ؟؟

10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1

الوسط الحسابي = 55 ÷ 10 = 5.5

سس ــ الوسط الحسابيتربيع … س ــ الوسط الحسابي
11 – 5.5 = – 4.54.5 × 4.5 = 20.25
22 – 5.5 = – 3.53.5 × 3.5 = 12.25
33 – 5.5 = – 2.52.5 × 2.5 = 6.25
44 – 5.5 = -1.51.5 × 1.5 = 2.25
55 – 5.5 = – 0.50.5 × 0.5 = 0.25
66 – 5.5 = 0.50.5 × 0.5 = 0.25
77 – 5.5 = 1.51.5 × 1.5 = 2.25
88 – 5.5 = 2.52.5 × 2.5 = 6.25
99 – 5.5 = 3.53.5 × 3.5 = 12.25
1010 – 5.5 = 4.54.5 × 4.5 = 20.25
المجموع = 0المجموع = 82.5

التباين = 82.5 ÷ 10- 1

التباين = 82.5 ÷ 9 = 9.166

الانحراف المعياري = الجذر التربيعي للتباين

الانحراف المعياري =3.027

ثالثا / التباين والإنحراف المعياري للبيانات ( المبوبة ) التي لها جدول توزيع تكراري

مثال / أوجد التباين والانحراف المعياري للجدول التكراري التالي :

العمرالتكرار
12-104
15-1312
18-1620
21-1914

أولا / ايجاد قيمة الوسط الحسابي للبيانات

الوسط الحسابي = 832 ÷ 50 =16.64

التباين = 239.33 ÷ 49 = 4.88 

الانحراف المعياري = الجذر التربيعي لـ 4.88

الانحراف المعياري = 2.21